潮州市22-23学年度高三级期末考试数学科质析

（数学科高考备考中心组  林振林  黄训光）

本次期末高三统考数学科以能力立意命题，考试范围覆盖高中数学高考要求内容，考查内容以三角函数、数列、立体几何、概率统计、解析几何和函数等六大模块为主，兼顾非主干知识集合、复数、平面向量。部分题目融入科学技术、病毒检验防控等内容，部分题目通过创新题考查学生的理解能力和应用能力。全卷聚焦学科主干知识，注重考查学生的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验以及发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，以核心素养导向，试卷结构与2022年高考相同。

本次考试以11校集中评卷数据作为质析依据：全卷平均分57.53，其中客观题35.23分，难度0.59，主观题22.29分，难度0.25。学生在经历疫情、网课后，在概念、性质等方面的能力下降比较大。

一、客观题分析

（一）选择题分析

选择题1至8为单项选择题，9至12题为多项选择题，主要考查考生的基础知识和基本技能。

1.考查集合运算及关系，平均分4.68，错误主要集中在D选项，直接两边约分。　
    2.复数的除法运算，复平面对应点，平均分3.79，可以看出考生的计算确实存在问题。　
    3.以科学技术为背景，考查古典概率，平均分4.31，容易题。　

4.考查二项式的展开式及导数，平均分4.46，容易题。
    5.考查函数的图象及性质，平均分3.1，错选集中在A选项，考生可能对比较陌生。　　
    6.考查基本不等式、不等式恒成立问题以及一元二次不等式，平均分3.45，错选主要集中在D选项，对不等式方向以及取值的原则不确定是出错的重要原因。

7.直线与抛物线的关系、抛物线的焦半径性质，平均分2.09，大部分考生错选B选项。

8.以正文体为背景，考查动态几何问题，平均分2.56，支柱几何一向是考生的一大难题，对立体几何综合要求比较高，知识联系不紧密是很难做出来的。

9.考查正态分布、回归方程、独立性检验的性质，平均分1.64，只有23.82%的考生做对，考生对概念问题不太重视是错误的最主要原因，加强概念复习教学非常必要。

10.含参数的三角函数的问题，考查了三角函数的周期、对称、单调、最值性质，平均分1.67，只有17.48%的考生做对，接近60%的考生单选。

11.双曲线的图象及性质，平均分1.63，考查非常综合，涉及知识点多，使得只有2.34%的考做对。

12.导数综合问题，考查了构造函数、利用函数的性质解决比较大小、极值等问题，平均分1.87，对函数的综合能力要求比较高，只有5.97%的考生做对。

（二）选择题解题方法总结：

1.做好选择题，必须下好苦功，对概念、定理、性质、公式等问题要做到无死角，切忌停留在了解状态。

2.解选择题有很多基本方法，因此在解选择题时要注意灵活运用方法“巧解”,切忌盲目地采用直接法。

3.解选择题时，要注意多观察、多分析，充分利用题干和选择支两方面提供的信息，灵活选用各种方法，才能加快解题速度.作为训练，解完一道题后，还考虑一下能不能用其他方法进行“巧解”并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力。

4.对于选择题一定要小题小做，小题巧做，切忌小题大做。“不择手段，多快好省”是解选择题的基本宗旨。

从考试角度来看，解选择题只要解对即可，至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要的,在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息。化一般为特殊，避免“小题大做”，真正做到准确和快速。

二、填空题分析

答题总体情况：本大题满分20分，全市平均分4.6，难度0.23。

填空题：

【命题立意】

填空题主要考查考生对基础知识、基本方法、基本数学思想的掌握程度，也考查考生的基本运算能力。重点考查了平面向量、等比数列、立体几何以及函数零点等知识点。

【试题分析】

13.题考查了平面向量的线性运算和数量积运算，难度不大，考生只需简单作图进行向量转化即可解决；

14.题考查等比数列的基本量计算以及等比数列求和积能力，需要一定的计算能力和分析能力；

15.题为四棱锥的外接球以及内切球的问题，考查考生的空间想象能力和基本运算能力，对作图能力和分析能力有一定要求；

16.题考查了函数的基本性质和函数零点问题，考生需要对函数的对称性、奇偶性以及单调性等性质有一定的理解，结合数形结合思想解决问题，需要一定综合应用能力。

【答题情况】满分20分，全市平均分4.6分，难度0.23。

【答题优点】

13、14题答对考生较多，考生对向量以及数列等基础知识掌握的比较好，具有较好的分析能力和转化能力，对数列的有关公式运算比较熟练。

【典型问题】

15、16题很少考生能答对，考生的空间想象能力和综合应用能力有所欠缺，数形结合思想应用不够熟练，对复杂问题处理缺乏难以找到突破口。

【备考建议】

1.强化数形结合思想，培养学生作图习惯，多引导学生作辅助线解决问题；

2.高考前加强综合应用能力培养，多通过实例引导学生分析题意，寻找解题的突破口。

三、解答题分析

17至22题为解答题，以高中数学六大模块内容为主，考查学生的逻辑推理能力、综合应用能力和计算能力等，题型以高考常规题为主，难度和综合度逐题增大。

（一）第17题（数列）质析：

【命题立意】

本题考查内容是等比数列的通项公式、前n项和的计算公式。

【试题分析】

本题设计较有创意，充分体现高考考查能力的导向：

1、试题考查学生的阅读能力，学生只有在快速审题后得出正确的判断才能得出所求等比数列。

2、试题考查了运算能力，学生只有熟练掌握指数、对数运算才能顺利完成本题的解答。

【答题情况】本题满分10分，全市平均分3.33，难度系数0.3，属于较难题。

【答题优点】

1.大多数同学能准确找出满足条件的等比数列。

2.大多数同学能准确记住等比数列的通项公式及前n项和计算公式。

3.多数同学直接用列举法解答第（2）小题并得出准确答案。

【典型问题】

1.分数指数运算、化简严重不过关，不能得出正确答案的同学绝大多数是因为通项公式前n项和计算式中分数指数式计算出错，进而影响第二问的解决。

2.证明“有序减差数列”时用S₁ S₂ S₃进行验证的现象比较严重。

3.数值计算出错严重。如第一问学生列出等比数列的前三项和分别为4、2、1，但接下来却指出公比q=2。又如第二问C₁+C₂+...+C₉用列举法把这9个数值一一罗列出来，却没有得出正确的结果。

【备考建议】

1.及时补练分数指数幂、对数运算，加强等比数列的相关计算训练。

2.要重视学生答卷的书写问题，全市11校中不少同学书写缭乱，字符、式子相互交错，非常难以辨认，再加上解答的逻辑不是很严谨或计算出错，要得满分极其困难。

3.在第二轮复习中应适当加强有应用背景的数列题，本次考试有一定数量的学生没有作答或得0分，说明数列的复习不能只停留在套公式进行运算这一套路上。

（二）第18题（三角）质析：   

【命题立意】

本题注重能力和计算考查，考查解三角形的综合问题，将数学基础、数学思想方法、创新与应用、数学能力有机结合。

【试题分析】

本题为解三角形解答题，第一问为已知两边一对角求第三边，考查余弦定理的运用和二次方程的求根问题，第二小题为锐角三角形已知一个角和一个邻边求另一个邻边的取值范围。题目解法多样，可从方程思想、三角函数、向量或临界点位置等方法去解题。

【答题情况】满分12分，全市平均分3.89分，难度0.32。

【答题优点】

第一小题大部分同学能运用余弦定理列出方程并求出二次方程的根，第二小题大部分同学能得到这一分，部分同学能利用锐角三角形这个条件求得或，并进一步求解。部分基础较好的同学能运用所学知识灵活解决第二小题。

【典型问题】

部分同学余弦定理定理写错，二次方程求根求错，或者求根后受到图形影响舍去一个根，部分同学能不能运用锐角三角形这个条件，部分同学第二小题无法求解。

【备考建议】

（1）强化二次方程求根

    （2）落实正余弦定理和三角形面积公式的运用

（3）加强形数结合在教学过程中的渗透

（三）第19题（立几）质析：

【命题立意】

本题主要考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定。适当建立空间直角坐标系求二面角的平面角，利用空间向量解决立体几何中角的问题，有一定的综合性，考查学生逻辑推理，空间想象，数学运算等核心素养。

【试题分析】

本题分两小题，第1小题5分，主要考查学生线面垂直的性质，菱形的性质，由线面垂直关系证面面垂直的方法，证明方法比较常规。第2小题7分，主要考查学生会正确建系，数学运算能力，方法也常规，计算量较大。

【答题情况】本题满分12分，平均分5.92，标准差3.44，难度0.49，比较合适。

【答题优点】

绝大多数学生都能大胆答题，每分必争的意识轻强，空白卷人数近年最少。计算能力有所提高，两个法向量都求对的比例有所提高。证明面面垂直，正确建系等基本能力也相应提高。

【典型问题】

①不少学生由AC⊥BD，PA⊥BD直接证出平面PAC⊥平面QBD。

②以AB,AD,AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。

③计算能力较差，法向量算错导致结果出错。

【备考建议】

①重视基础概念的教学。对证线面平行，线面垂直的基本处理方法，要让学生熟记，要对定理条件、适应范围以及高考中经常出现的使用方法做一些总结。

②加强几何图形的教学，培养学生空间想象能力。认识图形，“垂直”是关键，垂直是立几的一个核心概念，理清垂直关系关键是线面垂直，应适当加强训练，也为正确建系做准备。

③养成良好习惯，提高成绩，要对学生严格要求，让学生明白书写不规范不行，证明根据不足不行，格式不严密不行，让学生养成良好的答题习惯，解决“会而不对，对而不全”的学习问题。

④剖析典型例题，学会“转化”思想。立体几何的题型非常典型，规律性较强，对于题目要精讲多练，做到“一题多思，一题多得”，在解题过程中，注意反思总结、“转化”的思想很重要，例如：面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。通过转化可使问题由繁变简，由难变易，由暗变明。

（四）第20题（概率）质析：     

【命题立意】

该题以新冠肺炎核酸检测为背景，通过不同检测方法下的核酸检测次数，考查离散型随机变量及其分布列以及均值。也体现了对学生数学分析能力，阅读能力，运算能力等关键能力的考查。属于中档偏难一点点的题目。

【试题分析】

第（1）小题，主要考查学生对于离散型随机变量及其分布列还有数学期望的掌握，也是在考查学生的计算能力，很多学生能读懂题目的意思，也知道对于问题中的“方案一、二、三中哪个最优”是求均值。但是他们弄错离散型随机变量的取值，不懂得是哪种分布，随意套用以前学习的二项分布，很多人方案一直接用二项分布，写了一堆，一分都没有，方案二随机变量的取值是1，5很多人都是1，4，导致最终结果算错，而计算概率以及均值时，很多人出现计算错误，这种现象比较普遍。第（2）小题大部分学生无法完成，能完成的同学，基本就是第一小题完成的比较好的同学，有些同学能做到这一小题，但是总是列式成，也就是没有搞清楚P是阳性概率，导致最终错误，所以总体基本上都没能得分。

【答题情况】满分12分，全市平均分1.12分，难度0.093。

【答题优点】

很多同学即使计算错误，也能凭借自身对题目的理解，猜个方案一正确，比较少空白卷，部分同学能知道方案一检验次数是4，很多同学能算出方案二的P（X=1）=（1-1/3）⁴=16/81。还有个别同学第一小题有跟答案不同的解法，但是是正确的。

【典型问题】

很多人方案一直接用二项分布，X=0,1,2,3,4,然后错误，还有方案二随机变量的取值1，4，导致概率虽然对，但是均值错。还有就是计算错误一堆。

【备考建议】

1.加强概率统计中低档大题的训练，注意规范学生解题格式，特别是离散型随机变量的取值，在解题中要写出来。

2.加强分布列的训练，高考概率统计大题基本都有考分布列，但是学生现在不会灵活思考，只会套用，只记得二项分布，超几何分布，遇到题目乱套用。要注意培养学生数学的思维能力。

3.注重运算能力的训练：好的运算能力是顺畅实现良好思维活动的保证。要有意识地培养学生亲身体会解题的过程和机会，只分析解法而不落实解题过程的，学生很难有信心驾驭大题，解题速度也慢，准确性很难保证。

（五）第21题（解几）质析：     

【命题立意】

    本题注重能力考查，考查直线与圆锥曲线的综合问题，将数学基础、创新与应用、数学思想与方法、数学能力有机结合。

【试题分析】

    本题主要考查椭圆标准方程，结合向量概念设问第一小题，第二问联系数列知识点，分析动点产生的几何关系，由等式成立求未知量问题，考查函数与方程思想，数形结合思想等数学方法。

    第一小题主要出现的错误：（1）忘记椭圆概念的a，b，c关系，错以为左右顶点AB距离为焦距，因此导致a算错。（2）b值普遍算对（3）少部分人在ab算对情况下，把方程写错。（4）少数学生考虑到了焦点落在y轴上的情况。

    第二小题大部分无作答。大部分学生只设出M，N两点坐标及相应的直线方程，有基本都以y=kx+b居多，少部分有明确k值。很多学生在表示AD，DE，BE的距离时式子算错，导致最后没答案。有的学生没有考虑到MN两点横坐标的具体值，导致式子出现无法化简的情况。

    整体上，有少数学生拿满分，有部分学生算出答案2，缺了-2的情况。

【答题情况】满分12分，全市平均分2.4分，难度0.2。

【答题优点】

    在第一小题，大部分学生能够工整写出答题过程，并且能顺利通过面积最值求取b值，从而求取a值，得到椭圆标准方程。第二小题大部分未作答，少部分学生能顺利设点M，点N坐标，并表示直线PM与直线PN的方程，从而推断点D与点E坐标。多数学生熟悉等比中项性质，能顺利列出等式。

【典型问题】

    由c=2以及b=1就得出a=根号5的错误答案。

【备考建议】

（1）强化椭圆概念中a，b，c的几何意义。

（2）掌握圆锥曲线方程的一般方法，由数形结合，强调动点坐标的设法，利于化简问题，培养联立直线方程与圆锥曲线方程的计算化简能力。

（3）优化思维，优化运算，解析几何是数形结合的体现，解题的根本途径是将几何问题等价地转化为代数问题，牢固树立数形结合的意识，灵活运用几何性质，达到优化思维，优化运算的效果，从而避免推理的运算。

（4）注重运算能力的训练：好的运算能力是顺畅实现良好思维活动的保证。要有意识地培养学生亲身体会解题的过程和机会，只分析解法而不落实解题过程的，学生很难有信心驾驭大题，解题速度也慢，准确性很难保证。

（六）第22题（导数）质析：     

【命题立意】

22题是本次试卷的压轴题，考查函数与导数部分的内容。命题主要考查学生求导，利用导数讨论函数的最值和切线，分类讨论，以及转化化归的能力，难度较大，对学生的综合素质能力要求较高。

【试题分析】

第（1）小题，求函数的最值，主要考查学生求导和分类讨论的能力，难度中等，大部分学生可得1-2分，少部分学生能得4分；第（2）小题，利用两个函数存在公共切线，转化为函数存在零点来求参数取值范围，主要考查学生求导，求切线的方法，计算能力和转化化归等能力，难度较高，不少学生没有得分。

【答题情况】满分12分，全市平均分1.03分，难度0.086。

【答题优点】

本题作为压轴题，大多数学生都有写，尤其第（1）小题，绝大部分学生能利用求导求得函数h(x)的图像性质，拿到1-2分；第（2）小题，有部分学生尝试作答，并在求函数的切线、利用两个斜率相等的这个点上拿到1-2分。

【典型问题】

第（1）小题，学生大多得1分或者不得分，主要问题是：不少学生求导后对式子的因式分解出错，导致没能正确求得函数h(x)的图像性质，还有的就是不知道怎样去分类讨论。

第（2）小题，难度较大，绝大部分学生是0分，主要问题是：缺乏解题思路，不知道怎么样去转化，另一个就是运算出错，解方程组的能力不过关。

【备考建议】

1. 注重基础，提高学生求导计算的准确率，同时重视导数基本应用，如利用导数求切线，求单调区间，求极值或最值等能力，确保第（1）小题能得分。

2. 重视一些常规方法的训练，如分离参数，分类讨论，利用二阶导讨论等。

3. 对于数学能力较好的学生，可以适当进行转化化归能力方面题目的训练和补充放缩、洛必达法则等内容的教学。