潮州市2021—2022学年度高三级第一学期期末质量检测

数学科质析

本次期末质量检测试题从高考数学评价体系出发，重基础，重本质，贴近中学数学教学实际的，在全面考查基础知识和基本技能的同时，贯彻徳智体美劳全面发展的教育方针，聚焦核心素养，强调数学学科素养与关键能力，以基础性、综合性、应用性、创新性为导向，突出理性思维的考查。整张试卷情境熟悉，朴实灵活，全面考查学生的数学知识、方法、能力与素养，整体符合高考改革的理念，同时，还充分汲取了2021年全国Ⅰ卷在数学试卷命题上的新思维，实现了稳中有变，变中有新，体现出较强的区分度。试题以能力立意命题，考试范围覆盖高中数学高考要求内容，考查内容以三角函数、数列、立体几何、概率统计、解析几何和函数等六大模块为主，兼顾非主干知识。部分题目中融入数学传统文化、环保宣传等内容，部分题目通过创新题考查学生的理解能力和应用能力。注重考查学生的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验以及发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

本次考试以九校集中评卷数据作为质析依据：全卷平均分67.62，其中客观题36.59分，难度0.61，主观题31.03分，难度0.34，比12月的联考整体提高18分。

一、客观题分析

选择题1至8为单项选择题，9至12题为多项选择题，主要考查考生的基础知识和基本技能。

1、集合的运算关系及元素的互异性，平均分4.86，较基础题。

    2、复数的除法运算，虚部，平均分4.21，选错原因主要是虚部理解不正确。　
    3、等差数列求和公式及相等性质，平均分4.51，较基础题。
    4、三角函数诱导公式和二倍角公式，平均分3.68，错选集中在BD选项，原因在公式出错，如，等。　　
    5、圆锥直观图和侧面积公式，平均分3.66，出错原因主要还是侧面积公式忘记或记错。

6、平面向量基本定理，平均分3.11，需要画出图形，若用坐标法求解较易。 

7、计数原理，平均分2.25，信息量多，不合理的进行分类是解不出或解错的原因。　
    8、以向量的数量积的工具，考查了双曲线的定义、性质，平均分1.57，涉及画图、轨迹图形、数量积，考查知识比较多，掌握好这些题的解题技巧关键在于扎实的数学功底。　　
    9、统计图表，平均分2.78，很多学生弄不清CD选项的区别，只选B。

10、不等关系及不等式，平均分2.96，关键点还是对数值正负的判断。

11、抛物线的性质和直线与抛物线的关系，平均分1.95，此类多选题要注意不能孤立看待，应将各选项联系起来，减少做题时间。

12、含参数的三角函数，平均分1.05，注意参数的变化对原函数的哪些性质造成变化是解此类题的关键。

二、填空题分析

（一）答题总体情况。

本大题满分20分，全市平均分11。

    （二）各小题的命题立意。

第13小题考查等比数列的通项公式和前n项和公式。属于常规题、容易题，运算量较小，大多数学生能得分。

第14小题考查二项式定理的通项公式。常规题、容易题，运算量小，多数学生能得分。

第15小题考查导数的几何意义。常规题、中等难度题，运算量一般，切点未知是难点，少部分学生能得分。

第16小题考查三棱锥的外接球表面积与折面上两点的最短距离问题。融合数学文化，属于常规题、难度较大，运算量一般，折面上两点的最短距离问题是本题难点，只有少数学生能得分。

（三）典型错误

1、第13小题典型错误有：①审题粗心，把求看作求,结果写为;②计算出错，不少学生把结果写为30，可能是把算成32了.

2、第14小题典型错误：答案的不规范作答问题，出现答案为、的形式，本次评卷给0分。

3、第15小题留空不少，有作答的，出错的形式也多样化，如出现等形式，说明本题不少学生不能求出切点坐标，而乱猜进行作答。

4、第16小题很多学生没有作答，留空。①计算成体积；②出错的形式相对分散，说明学生通过猜想球的半径而作答，而非有依有据的推断出结果。

（四）备考建议。

1、填空题答案的书写应引起足够的重视，要规范书写答案，要演算出结果，不写成算式。

2、培养学生阅题审题能力，杜绝低级错误。

3、杜绝留空，让学生不会的也要“猜、估”写出结果，决不放弃得分可能。

三、解答题分析

17至22题为解答题，以高中数学六大模块内容为主，考查学生的逻辑推理能力、综合应用能力和计算能力等，题型以高考常规题为主，难度和综合度逐题增大。

第17题质析：

【命题立意】

本题考查了等差数列的通项公式，等差数列求和公式，考查裂项相消求和及错位相减求和等知识，考查了学生的运算能力，同时考查学生的分析能力，化归转化能力。

【试题分析】

第一小题主要通过列方程组求出等差数列基本量和，从而利用通项公式及求和公式求出通项及前项和。

第二小题是条件不良的题目，选择条件①主要考查学生错位相减求和的方法，运算量较大，选择条件②主要考查学生化归思想方法，裂项相减求和的方法。

【答题情况】

满分10分，全市平均分6.56分，难度0.656，参加考试学生有7964人，其中得0分277人，得1分65人，得2 分54人，得3分184人，得4分464人，得5分1173人，得6分2229人，得7分803人，得8分860人，得9分589人，得10分1266人。

【主要问题】

1．大多数学生能利用公式解方程组求出和，但部分学生运算不过关，求出，导致求出的和都错。

2．审题不仔细，没有看到还要求前项和，只求出通项。

3．第二小题选择条件①的学生比较多，能写出，但不懂得用错位相减求和，而是一个等差一个等比分别求和再相乘。②会用错位相减求和的学生不少计算能力不过关，无法得到正确的结果。

4．第二小题选择条件②的学生比较少，不少学生能化，裂项求和运算量较小，准确率较高，但也有学生求和时本来应是写成8，导致结果错。

5．用不完全归纳法推导数列的通项公式，思维不严谨。

6．书写不规范，例如。

【备考建议】

1．重视计算能力的培养，平时应加强基础题的限时训练，通过解方程求出等差、等比数列基本量。

2．加强数列求和几个基本类型的训练（重点等差、等比求和，错位相减求和，裂项求和等）。

3．重视数学符号和书写的规范性训练。

4．加强学生对数列基本概念的理解（如从函数的思想出发理解数列的通项公式是关于的函数）。

第18题质析：

【命题立意】

    第18题是本次试卷的第二道解答题，考查立体几何的内容，考查学生线面平行的证明，以及面面垂直的性质，考查学生通过几何法证明空间线面关系的能力，考查学生通过建立空间直角坐标系求二面角的能力，对学生几何知识的储备、思路的条理性，作答的规范性等能力有较高的要求。

【试题分析】

    第（1）小题，利用平面几何的知识，证明线线平行，再进一步证明线面平行，要求学生作答条理、规范，部分学生拿到4-6分；第（2）小题，通过建立空间直角坐标系，求法向量，再进一步求二面角的余弦值，大部分学生不得分，不少学生仅得1分，只有极个别学生可以得满分。

【答题情况】满分  12 分，全市平均分 2.77  分，难度 0.2  。

【答题优点】

第（1）小题得分率较高，不少学生证明过程规范，对线面平行的判定定理掌握得比较扎实，并且出现了大概四种证明方法，比如“连接交于点”，在证明点为中点时，有的同学是通过证明四边形为平行四边形，有的同学则利用三角形全等来证明，还有的同学取中点，证明四点共面，或者证明四边形为平行四边形，能做出来的同学得6分者居多。

第（2）小题得分率极低，但不少同学能够利用面面垂直证明线面垂直，得1分，正确建立坐标系的同学不少可以得5-6分，出错的同学主要是计算问题，但是思路方法等都是正确的。

【典型问题】

第（1）小题，学生最大的问题是，连接交于点，默认点为中点，或者取的中点，默认点在上；其次证明四边形是平行四边形，但是不知道作何用处；最后是作答规范的问题：未说明“”，未说明“”，将“”写成“”，将“”写成“”等等。

第（2）小题，学生丢分的主要原因是坐标系建错，误以为，将其作为轴，甚至将作为轴；正确建立坐标系的同学，除了没有说明两两垂直外，不少同学将点的坐标错写成，或者求平面的法向量、求二面角的余弦值出错，以及忽略所求二面角为钝角。

【备考建议】

    1. 注重基础。本次试卷的立体几何题目不算很难，但是学生得分情况较差，尤其是在第（1）小题，不少同学不知如何证明线线平行，不懂得利用三角形的中位线、平行四边形、三角形全等等平面几何知识进行证明，所以要巩固学生几何知识的基础，同时注重和强调作答的规范性，回归课本，加强训练的同时多总结，不断改进。

2. 注重计算。利用向量法求空间角或者证明空间位置时都需要求法向量，涉及不少计算，学生却经常出错，尽管思路方法都正确，但是丢分严重。所以平时做题，不能认为“会建立坐标系，能写出点的坐标”就可以，忽略计算，忽略规范作答，都是不可取的。

3. 确保得分。基础较差的同学，要熟练掌握各个判定定理、性质定理，注重规范性，确保可以得分；基础较好的同学除了规范作答，正确计算，要在细心的同时提高作答速度，确保得高分的同时又不浪费过多时间。

第19题质析：

【命题立意】

第19题以排球比赛的胜负为背景，以相互独立事件的概率为重要知识点，重点考察学生的逻辑推理、数学运算、数据分析等核心素养，考察学生应用数学意识解决实际生活问题的能力。

【试题分析】

第一小题考查利用相互独立事件概率乘法公式计算出随机事件的概率，大部分学生能理解题目要求，通过列出前四局所有的胜负情况，

根据概率公式进行求解；第二小题学生对分布列的求解步骤掌握较好，的概率也基本能做对，但由于对、的胜负情况分析不全面，导致列式出错。第二问很多学生只能得2分。

【答题情况】满分12分，全市平均分 3.49 分，难度 0.29 。

【答题优点】

本题是概率的常规题型，几乎所有学生都有写，第（1）小题，存在部分学生能规范列举所有胜负的情况，如用“甲甲乙甲、甲乙甲甲、乙甲甲甲”的记法进行列举；第（2）小题，不少学生能按求解分布列期望的步骤，正确规范书写。

【典型问题】

1、分析不全面：前两局的胜负没有区分顺序，少了。

2、表达不规范、计算出错：随机事件的概率只是列式求解，没有必要的文字说明。很多学生的式子列对但由于计算能力差，一步错就导致后面的步骤无法得分。

【备考建议】

1. 重视基本概念、基础知识、常规题型、方法技巧的复习以及解题步骤的归纳，如互斥事件、相互独立事件概念的理解，概率解答题解答步骤的归纳及训练；

2. 加强学生审题能力和分析能力的培养，明确题目的考查方向，加强计算能力，提高解题速度和准确率；

3.对程度差的学生，应加强基础的高考概率统计题型的教学和训练，让这部分学生能尽可能的拿到高考试卷中的基础分。

第20题质析：    

【命题立意】

该题考查解三角形有关知识，应用正余弦定理实现三角函数式中的边角互化，处理三角形中的边角关系。结合向量运算和基本不等式研究三角形面积最值问题，考查学生的综合应用能力和学科素养。

【试题分析】

第（1）小题应用正弦定理把式子中的边化角，应用三角形角的关系转化，化简求角B；

第（2）小题通过给出点B和边AC的三等分点D的连线长度，求△ABC面积的最大值，该题可以用向量的方法结合基本不等式求解，也可以应用余弦定理寻找边的关系求解，该方法较繁琐，但大部分考生选用此法。

【答题情况】满分 12 分，全市平均分 3.91 分，难度 0.326 。

【答题优点】

大部分考生能完成第（1）小题，能熟练运用正余弦定理化简三角函数式；部分考生能运用向量求解第（2）小题，并结合基本不等式求出三角形面积最大值，有较强的分析处理问题能力。

【典型问题】

（1）计算过程中出现弄错符号，分子分母颠倒等较低级错误；

（2）由值求角时没写出角的范围，直接写出结果，解题不够严谨；

（3）特殊角的三角函数值记错，由，得出等情况均有出现。

【备考建议】

（1）加强计算能力培养，避免计算错误；

（2）熟记特殊角三角函数值，三角变形过程中时刻注意角的范围，加强解题的严谨性。

第21题质析：   

【命题立意】

    本题注重能力考查，考查直线与圆锥曲线的综合问题，将数学基础、创新与应用、数学思想与方法、数学能力有机结合。

【试题分析】

    本题主要考查椭圆的离心率、长半轴长、标准方程，直线与圆相切，直线与圆锥曲线的关系，定点定值问题，考查待定系数法，数学思想方法。大部分学生能够完成第一小题，好多学生在e=√6/3就得出a=3，部分学生由点到直线的距离求解出a之后，能正确求出c之后b^2出错；第二小题极少学生能够得出正确答案，部分学生能够联立方程组得出关于x的一元二次方程组，并利用韦达定理求解。

【答题情况】满分  12  分，全市平均分 2.12 分，难度 0.177。

【答题优点】

    在第一小题，学生能够工整写出答題过程，并利用点到直线的距离解决直线与圆相切的问题。

【典型问题】由就得出.

【备考建议】

（1）掌握圆锥曲线的定点、定值、最值、弦长问题。

（2）掌握圆锥曲线方程的一般方法，直线与圆锥曲线的关系。

（3）优化思维，优化运算，解析几何是数形结合的体现，解题的根本途径是将几何问题等价地转化为代数问题，牢固树立数形结合的意识，灵活运用几何性质，达到优化思维，优化运算的效果，从而避免推理的运算。

（4）注重运算能力的训练：好的运算能力是顺畅实现良好思维活动的保证。要有意识地培养学生亲身体会解题的过程和机会，只分析解法而不落实解题过程的，学生很难有信心驾驭大题，解题速度也慢，准确性很难保证。

 第22题质析：   

【命题立意】

22题是本次试卷的压轴题，考查函数与导数部分的内容。命题立意主要考查学生利用导数函数极值的方法，考查学生构造函数，并通过求最值的方法证明不等式的能力，以及把双变量转化为单变量的化归能力，难度较大，对学生的综合素质能力要求较高。

【试题分析】

第（1）小题，求已知函数存求在极值，反求参数的取值范围，主要考查极值概念的理解，考查学生函数、方程、不等式的转化能力，难度中等，大部分学生可得2-3分，只要极少数学生能得满分5分；第（2）小题，利用韦达定理，把双变量化归为单变量，再构造函数，通过求最值的方法证明不等式，主要考查学生运算，化归，以及利用隐零点讨论函数最值等能力，难度较高，大部分学生没有得分，只要极少数学生能把双变量转化为单变量，但后面的求最值基本不会。

【答题情况】满分 12 分，全市平均分 1.18 分，难度 0.098 。

【答题优点】

本题作为压轴题，约有一半学生第（1）小题有解答，能正确求导，并利用函数有2个不同的极值点，转化得到一元二次方程有2个不同的根；第（2）小题，有少数学生能通过运算，结合韦达定理把双变量化归为单变量，并有尝试作答。

【典型问题】

第（1）小题，学生大多能正确求导，并得到方程有2个不同的根，得到2分，主要问题是：不少学生未能注意到函数的定义域，没能指出两个根是正根，导致参数范围没有正确求出，并只要极少数学生懂得还得去说明在导数为零的两侧还把必须单调性改变才能确保极值的存在，导致没能继续得分。

第（2）小题，难度较大，绝大部分学生是0分，主要问题是：大多数学生不懂解题思路，没办法把双变量转化为单变量而直接放弃求解，极少数学生作了尝试，但后面的构造函数，通过隐零点的方法去讨论最值的方法也不会。

【备考建议】

1. 注重基础，提高学生利用导数讨论函数单调性，求极值或最值，求切线等基本题型的解题能力，确保第（1）小题能得分。

2. 在掌握一阶导的同时，提高学生二阶导的能力，学会判断一阶导是否可以求得单调区间，求不了时能够利用二阶导判断一阶导数的单调性。

3. 对于成绩较好的学生，可以适当补充高考中常考导数题型和处理方法，如双变量问题，隐零点等热点题型的教学和训练，以提高本题的得分能力。